文化を担う人にとって《伝統と流行》は、重要なテーマであるに違いない。｢不易流行｣という芭蕉の有名な言葉はこの緊張感を見事に表現しているように思う。文化人ですら流行が深刻な問題なのだから、一般人が流行に敏感なのは当然かもしれない。『傾向と対策』という一世を風靡した書名は、あらゆる現象が｢客観的科学｣の対象となりうるという時代の精神を反映したものであった画ゆえに、教育界の枠を超えて定着し、やがて来る｢マニュアル信仰｣に代表される《個的思索の不在時代》の先駆けとなった。
｢流行に乗ってしまえば勝ち｣ということなのかもしれないが、いつの世にも、どこの世界にも、流行に敏感に反応する人がいる。教育の世界にすら、｢新しい指導法｣や｢新しい指導内容｣を熱心に提唱する人がいる。あまりに底が浅い講論なので聞いて呆れることが多いが、そういう人の｢ビジネス｣と見れば理解できなくもない。しかし教育の世界くらいは、《文化の表層の流れにとらわれない永遠不易の理想》と、《いかに輝ける伝統にも安んぜず、いかなる陳腐も嫌う進取の精神》がしっかりと共存していてほしいと思う。
そのような気持ちから、今回は次の問題を取り上げよう。
平面上の点(x,y)に\usepackage{amsmath} \[ \begin{cases} x'=2x+y \\ y'=3x+2y \end{cases} \]によって定まる点(x',y')を対応させる。
(i) 四点(0,0),(a,0).(0,b),(a,b)を頂点とする長方形は、この対応によってどのような図形にうつるか。(図を描いて説明せよ。ただしa>0,b>0とする。)
(ii) その図の面積ともとの長方形の面積の比を求めよ。
少しでも受験勉強に取り組んでいる高校生がこれを見たら｢平面上の点の変換の問題｣、2000年頃の学習指導要領で数学Cを勉強している人なら｢行列の表す1次変換の問題｣と判定できるであろう。やや年配の方(1980～90年代に高校生であった人)で、やや進んだ受験勉強に取り組んでいた人がいらっしゃれば、｢行列式の幾何学的性質を問う問題｣と見抜くこともできるであろう。こんな易しい問題が本当に東大で出題されたのか？と疑問にさえ思われるのではないだろうか。これはなんと1959年度(昭和34年度、ということは、すでに還暦を過ぎた人ですら、ようやく小学5年生を終えようとしていたころである！)の第二次試験《数学Ⅰ代数》の第1問なのである(｢四点｣のような古めかしい表現が登場しているのはこのためである)。つまり、東大では、戦後のどさくさの混乱がようやく少し一段落し、｢力道山｣から｢長嶋茂雄｣へと、スポーツのヒーローに国民が沸いていたこの時代に、それから約20年後に、《数学教育の現代化》運動の中、鳴り物入りで入ってくる｢行列の表す1次変換｣の問題が、当時の標準的な学習単元を遥かに超えて取り上げられたという事実に注目してほしいのである。
私から見ると、誠に意外なことなのであるが、最近の学校では教科書を早く終わらせる｢前倒し｣という指導法が｢流行｣しているようである。若い諸君には、教科書を学校の先生に先立って自発的に読み進めるという勉強法は熱烈に推薦したいが、それは自らの力で数学書を読み解くという数学の最も基本的な勉強法の手近な実践として意味があるからであって、概念的、理論的な理解を犠牲してまで、他人より早く｢進んだ｣数学的知識を詰め込むことは、より適切な表現が見つからないので困るが、一種の耳年増の養成にこそなれ、本格的な受験勉強には｢百害あって一利なし｣である。
低学年において指導要領上の基礎知識を手早く叩き込んでおいて、過去の入試問題の演習時間を高学年で確保しようということらしいのだが、その種の後ろ向きな努力は、実際は東大にはななか通用しにくい。そのわけは、東大が、｢集合と
にせよ、今回取り上げものにせよ、これらにはっきりと見られるように、きちんとした基礎をしっかり理解している受験生なら、ちょっと考えるだけですぐに解ける、しかし見掛けだけは過去に例のない新鮮な問題を文部科学省の指導要領を《無視》して(この表現がきつすぎるなら、《拡大解釈》して)出題してきているからである。
伝統や実績のない自称進学校がすぐに売りになる安易な対策に走るのは、教員と生徒の置かれた状況の点から同情する面もあるが、本気で東大を目指す若者は、浮き足だった｢受験対策｣でない、いかなる新奇な問題にも自由自在に対応できる真の基礎力をつける本格的な《受験勉強》を進めたい。基礎概念の数学的意味を含む精密な理解を根ざし、各定理を繋ぐ数学の考え方の流れの理解を通じて、単なる問題解法を超えた、数学そのものを楽しむような勉強である。
その例として最適かどうかはともかく、上に引用した問題であるが、行列や1次変換などの知識が全くない当時の受験生に対しても期待し得る解答の方針の1つを紹介してみよう。
｢x_0を0\leq x_0\lep aを満たす定数として、0\leq t\leq bを動く変数tを用いて(x_0,t)と表される動点(これはy軸平行の線分を描く)の移る先の点(2x_0+t,3x_0+2t)の描く図形(これは簡単な計算により、線分y=2x-x_0,2x_0\leq x\lep 2x_0+bであることが分かる。この線分の両端点の座標を出すのも後の議論の展開に悪くないだろう)をまず求め、次にその図形がx_0の変化について掃過する(移動しながら描き出す)図形として平行四辺形を求める｣
というものである。
今日の目から見れば、垢抜けた解法とは見えないかもしれない。しかし、解析幾何の基本的な知識だけで十分に使いこなせる、適用範囲の広い方法である。最近は、なまじ｢行列と1次変換｣という単元が入ってきたので、このような古典的な汎用的解法はかえって扱われにくくなっているのが残念である、
実際、今日では、
\[ 与えられた式 \left\{ \begin{array}{ll} x'=2x+y \\ y'=3x+2y \end{array} \right. \]
\[ を \left\{ \begin{array}{ll} x=2x'-y'1 \\ y'=-3x+2y' \end{array} \right. \]と変形し、これを不等式0\leq a,0\leq bに代入してx',y'の条件を導く｣
といった解法が、｢誰にでもすぐに使える｣ということなので、もてはやされるようである。確かにこの方法は、表向き｢頭を使わない｣ので、分かっていない人でも答えが出せるという点で確かに｢魅力的｣である。(実際、最初の解法が理解できない人でもこの方法なら答えに達することができよう。)
しかし、｢図を描いて説明せよ｣という解答上の指示までつけて出題された先の問題に対し、このような今風の答案が存在したとして、それが実際には、どのように評価されたか、いまは天国にいらっしゃるであろう教授たちに伺ってみたいものである。東大では最終結果の一致不一致より、むしろ途中の論理の展開に重点が置かれるというだけになお一層である。4点(0,0),(a,0),(a,b),(0,b)の移る先の点を結んでできる四角形の周および内部であると、直ちに断定する。素朴すぎる議論でも｢正解｣が導かれるが、もちろん、これでは0点に限りなく近い採点になったことだろう。
なお、これを含め！後半に述べた｢解法』にもそれぞれを支える数学的な根拠があるから、これを単なる小賢しい解法の技巧として覚えるのは情けないが、広い数学的な理論としてしっかりマスターするのは素敵なことである。
